Chứng Minh Cơ Sở Của Không Gian Vecto, Cơ Sở Và Số Chiều Của Không Gian Vectơ

Bài viết này 2dance.vn reviews mang đến độc giả Lý ttiết kèm ví dụ bài bác tập chi tiết về Thương hiệu của không khí véctơ:

1. Cửa hàng của không khí véctơ

Trong không gian $mathbbR^n$ từng hệ có $n$ véctơ $left P_1,P_2,...,P_n ight$ chủ quyền tuyến tính được gọi là một đại lý của không khí $mathbbR^n.$

lấy ví dụ như 1: Hệ bao gồm nhì véctơ $P_1=(1,2),P_2=(-2,1)$ là 1 trong cơ sở của không khí $mathbbR^2$ bởi vì $P_1,P_2$ hòa bình tuyến đường tính do không tỉ lệ.

Bạn đang xem: Chứng minh cơ sở của không gian vecto

lấy ví dụ như 2: Hệ có cha véctơ $P_1=(1,0,0),P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1)$ là một trong cơ sở của không gian $mathbbR^3$ vì $P_1,P_2,P_3$ tự do con đường tính.

Ví dụ 3: Hệ tất cả n véctơ $E_1=(1,0,0,...,0),E_2=(0,1,0,...,0),...,E_n=(0,0,0,...,1)$ là 1 cơ sở của không gian $mathbbR^n.$

2. Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở

Giả sử hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$ là một trong các đại lý của $mathbbR^n.$ Khi đó mọi véctơ $Xin mathbbR^n$ hầu như được màn biểu diễn đường tính một cách độc nhất vô nhị qua hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$, tức là luôn mãi mãi tốt nhất $n$ số thực $altrộn _1,altrộn _2,...,altrộn _n$ sao để cho $X=altrộn _1P_1+altrộn _2P_2+...+alpha _nP_n.$ Bộ số $(altrộn _1,alpha _2,...,altrộn _n)$ được Điện thoại tư vấn là toạ độ của véctơ $X$ trong các đại lý $left P_1,P_2,...,P_n ight.$Ta vẫn hiểu được $(alpha _1,altrộn _2,...,altrộn _n)$ là nghiệm của hệ con đường tính bao gồm ma trận thông số không ngừng mở rộng $overlineA=left( P_1P_2...P_nX ight)$ trong những số đó $P_1,P_2,...,P_n,X$ viết dưới dạng cột.

lấy ví dụ 1: Chứng minch rằng hệ có 3 véctơ $v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,3)$ là 1 trong những các đại lý của $mathbbR^3$ với tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ đối với đại lý kia.

ví dụ như 2: Chứng minc rằng $B=left v_1,v_2,v_3 ight$ là một cửa hàng của $mathbbR^3$ với kiếm tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cửa hàng đó:

a) $v_1=(2,1,1),v_2=(6,2,0),v_3=(7,0,7),v=(15,3,1).$

b) $v_1=(0,1,1),v_2=(2,3,0),v_3=(1,0,1),v=(2,3,0).$

c) $v_1=(1,2,-1),v_2=(2,3,0),v_3=(5,7,2),v=(2,-3,6).$

d) $v_1=(1,2,3),v_2=(1,3,-2),v_3=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$

lấy một ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ gồm 4 véctơ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ bên dưới đây

$P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,-3)$

là một trong đại lý của $mathbbR^4$ với tra cứu toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ vào cửa hàng đó.

ví dụ như 4: Tìm $m$ nhằm hệ gồm 3 véctơ $P_1=(2,1,1),P_2=(6,2,0),P_3=(7,0,m)$ là một trong những đại lý của $mathbbR^3.$

ví dụ như 5: Tìm $m$ nhằm hệ bao gồm 4 véctơ $P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,m)$ là một trong cửa hàng của $mathbbR^4.$

lấy ví dụ 6: Cho đến tía véctơ $X_1=(3,-2,4,1),X_2=(-2,1,3,-2),X_3=(-3,-1,k,2).$ Tìm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 trong cửa hàng của $mathbbR^4.$

Giải. Điện thoại tư vấn $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ làm véctơ chiếc, gồm $A = left( eginarray*20c 3& - 2&4&1\ - 2&1&3& - 2\ - 3& - 1&k&2\ a&b&c&d endarray ight).$

Ta cần tra cứu $(a,b,c,d)$ làm sao để cho $det (A) e 0.$ Knhì triển theo loại 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + c( - 1)^4 + 3left| eginarray*20c 3& - 2&1\ - 2&1& - 2\ - 3& - 1&2 endarray ight| + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + 15c + dA_44. endarray$

Vậy ta chỉ cần lựa chọn $a=b=d=0,c e 0$ khi đó $det (A)=15c e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,c,0),c e 0.$

Ví dụ 7: Cho ba véctơ $X_1=(2,k,4,-1),X_2=(-3,1,2,k),X_3=(6,-1,-4,-2).$ Tìm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ nhằm hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 trong những đại lý của $mathbbR^4.$

Giải. gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A dìm các véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ có tác dụng véctơ dòng, bao gồm $A = left( eginarray*20c 2&k&4& - 1\ - 3&1&2&k\ 6& - 1& - 4& - 2\ a&b&c&d endarray ight).$ Ta đề xuất kiếm tìm $(a,b,c,d)$ thế nào cho $det (A) e 0.$ Khai triển theo loại 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 + d( - 1)^4 + 4left| eginarray*20c 2&k&4\ - 3&1&2\ 6& - 1& - 4 endarray ight|\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 - 16d. endarray$

Vậy ta chỉ việc lựa chọn $a=b=c=0,d e 0$ khi ấy $det (A)=-16d e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,0,d),d e 0.$

3. Thương hiệu và số chiều của không khí con

Cho L là 1 không gian nhỏ của $mathbbR^3.$ Hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ nằm trong L được Gọi là một trong cơ sở của L trường hợp tán đồng mặt khác hai điều kiện:

Hệ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ tự do con đường tính;Mọi véctơ $Xin L$ những được màn biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight.$

Số véctơ của các đại lý của L được điện thoại tư vấn là số chiều của L với được kí hiệu là dimL.

lấy một ví dụ 1: Cho không khí bé $L=leftx_2=2x_1 ight.$ Chứng minc rằng hệ bao gồm nhì véc tơ $P_1=(1,2,0),P_2=(1,2,1)$ là một cơ sở của L.

lấy ví dụ 2: Cho không gian con $L=leftx_1+x_3=0 ight.$ Tìm một đại lý cùng số chiều của L.

Ví dụ 4: Cho không gian nhỏ $L=left X=(x_1,x_2,x_3)in mathbbR^3(a,b,cin mathbbR;a e 0).$ Chứng minc rằng hệ bao gồm hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là 1 các đại lý của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3(a e 0).$

Vậy $X=left( -fracbax_2-fraccax_3,x_2,x_3 ight)=left( -fracbax_2,x_2,0 ight)+left( -fraccax_3,0,x_3 ight)=x_2left( -fracba,1,0 ight)+x_3left( -fracca,0,1 ight).$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ chủ quyền đường tính vì chưng không tỉ trọng yêu cầu hệ bao gồm nhị véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là một đại lý của L.

Xem thêm: Cô Gái Hát Đám Cưới Người Yêu Cũ Trách Ai Vô Tình Ngọc Hân Clip1

ví dụ như 8: Cho không gian nhỏ $L=left X=(x_1,x_2,4x_1-5x_2)in mathbbR^3 ight.$ Tìm một các đại lý cùng số chiều của L.

ví dụ như 9: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4.$ Tìm một các đại lý và số chiều của L.

lấy một ví dụ 10: Cho không khí con $L=left X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)in mathbbR^3 ight.$ Tìm một cửa hàng cùng số chiều của L.

ví dụ như 11: Cho không khí bé $L=left2a+b=c-3d ight.$ Tìm một cửa hàng cùng số chiều của L.

lấy ví dụ như 12: Cho không khí nhỏ $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4.$ Tìm một cửa hàng và số chiều của L.

lấy ví dụ như 13: Cho không khí con $L=left X=(4x_2+x_3+3,x_2,x_3,-3x_2+x_3)in mathbbR^4 ight.$ Tìm một đại lý và số chiều của L.

lấy ví dụ như 14: Cho không khí bé $L=leftax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0 ight(a,b,c,din mathbbR;a e 0).$ Chứng minch rằng hệ có bố véctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là một đại lý của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3-fracdax_4(a e 0).$Vậy

$eginarrayc X = left( - fracbax_2 - fraccax_3 - fracdax_4,x_2,x_3,x_4 ight) = left( - fracbax_2,x_2,0,0 ight) + left( - fraccax_3,0,x_3,0 ight) + left( - fracdax_4,0,0,x_4 ight)\ = x_2left( - fracba,1,0,0 ight) + x_3left( - fracca,0,1,0 ight) + x_4left( - fracda,0,0,1 ight). endarray$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ tự do đường tính đề nghị hệ gồm bavéctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là một các đại lý của L.

Lúc Này 2dance.vn tạo ra 2 khoá học Tân oán thời thượng 1 và Toán thù thời thượng 2 giành riêng cho sinch viên năm nhất hệ Cao đẳng, ĐH kăn năn ngành Kinh tế của tất cả những trường: